ノーヒットノーラン考 - カープとデータ分析

前回の記事ではサイクル安打の達成確率について試算したが、今回はノーヒットノーランについて試算を行ってみたい。

ノーヒットノーランというと、カープでは何といっても3度（65年10月2日、68年9月14日、72年4月29日）の実績を誇る外木場義郎さんの名前を思い出す。また、現在の佐々岡監督（99年5月8日）や藤本和宏氏（71年8月19日）、それからメジャーで活躍中の前田健太投手（12年4月6日）が達成したことがある。

全球団を見渡すと、平成以降のノーヒットノーランの達成回数は25回であり、この間の試合数が計25,731試合であったので、一の試合でノーヒットノーランがみられる確率は0.10％程度となる。これを1シーズン（12球団・143試合）中にみられる達成回数の期待値に計算し直すと0.83回となる。
この発生頻度は、サイクル安打（平成以降の達成回数が34回）と比べてもなお、希少である。

ノーヒットノーランの算術上の達成確率

直感的に、どれだけ優れた投手でもノーヒットノーランは「運」を味方につけないと実現できない。そのため、試算では、①まず、投手にとっての「運」を数値化して「運が良いとき悪いとき」の分布を求める（後述（１））。次いで、ノーヒットノーランの達成確率は、投手の被打率次第で決まってくるため、②①でいうところの「運が良いとき悪いとき」それぞれの被打率（1試合あたりの平均的な被安打数）を求めたうえで（後述（２））、それに基づき③「運が良いとき悪いとき」それぞれの（＝被打率ごとの）ノーヒットノーランの達成確率を計算する（後述（３））。

④最後に、これらの要素を組み合わせていく。すなわち、「運の良し悪し」の分布（①・②）と、「運が良いとき悪いとき」それぞれのノーヒットノーランの達成確率（③）とを掛け合わせることにより、全体としてのノーヒットノーランの達成確率を試算してみた。

（１）投手の「運」の数値化

投手の「運」を数値化するため、今回は、セイバーメトリクスの指標であるBABIP（Batting Average on Balls In Play）に着目した。
投手の被BABIP＝（被安打－被本塁打）÷（打席－与四死球－奪三振－被本塁打）

BABIPとは、ゴロやフライといったインプレーの打球が安打になった確率のことであり、三振や本塁打については打者と投手の能力次第であるが、インプレーの打球が安打・凡打のいずれになるかは「運が44％、投球能力が28％、守備力が17％、球場が11％」（トム・タンゴ、アーヴィン・シュウ、エリック・アレンらの共同研究）といわれており、要は運の要素が強いとの考え方に基づく。

BABIPは、一定の試合数を均してみると3割ちょうどくらいに収斂する（特に投手にとっての被BABIPは長い目でみると正規分布的な姿になる）といわれているが、試合単位でみると3割を中心に正規分布となっているとは限らず、それよりはるかにバラツキが大きいのではないかとみられる。

そこで、端的にBABIPの平均値といわれる「0.3」を中心値とし、BABIP平均値の44％分（0.3×44％＝0.132）が-0.132～+0.132まで均等に分布するとの想定を置いてみることにした。この想定のもとにおいて、投手にとって最も運が良いときのBABIPは0.168となるし、最も不運なときは0.432となる。

（２）「運が良いとき、悪いとき」それぞれの被打率

「運が良いとき悪いとき」それぞれの被安打は次のとおり想定してみた。
①まず、BABIP理論上「運に左右されない」奪三振、与四死球、被本塁打については、固定値（具体的には、平成以降の全球団・全試合の実績平均とし、1試合あたり38.1打席中、奪三振6.7、与四死球3.5、被本塁打0.9）とした。
②インフィールド被安打については、BABIPの水準ごとに、BABIPの算式に①の固定値を当てはめることにより割り出してみた。
例えば、BABIPが0.30の場合、「BABIP[0.30]＝（インプレー被安打－被本塁打[0.9]）÷（打席[38.1]－与四死球[3.5]－奪三振[6.7]－被本塁打[0.9]」との算式に基づき、インプレー被安打数＝9.9と求められる。このようにBABIPの水準ごとに「被安打数（インプレー被安打数＋被本塁打数）」を計算していくと、下表の「被安打数」列のとおりとなる。

（３）「運が良いとき、悪いとき」それぞれのノーヒットノーランの達成確率

次に、運がよいとき、悪いときそれぞれ（被打率の水準ごと）のノーヒットノーランの達成確率を算出する。

ノーヒットノーランの達成確率を算出するにあたって、まず、1イニングをノーヒット無失点に抑えられる確率を求める。この確率は、失策による出塁や盗塁を度外視すると、①3者凡退、②最大3つまでの四死球、③最大4つまでの四死球＋併殺の発生確率の合計値となるため、①～③それぞれの発生確率を算出していく。例えば①については、上表の分布ごとに｛1－（被安打率＋与四死球率｝^3により求められる。②、③についてもこれに準じて計算する（※）。ここで被安打率などは上記（２）の前提に基づく。

（※）①3者凡退：｛1－（被安打率＋与四死球率｝^3
②四死球1：｛1－（被安打率＋与四死球率｝^3×与四死球率×3
四死球2：｛1－（被安打率＋与四死球率｝^3×与四死球率^2×6
四死球3：｛1－（被安打率＋与四死球率｝^3×与四死球率^3×10
③四死球1＋併殺：｛1－（被安打率＋与四死球率｝×与四死球率×併殺率×2
四死球2＋併殺：｛1－（被安打率＋与四死球率｝×与四死球率^2×併殺率×5
四死球3＋併殺：｛1－（被安打率＋与四死球率｝×与四死球率^3×併殺率×7
四死球4＋併殺：｛1－（被安打率＋与四死球率｝×与四死球率^4×併殺率×3

1イニングをノーヒット無失点に抑えられる確率（＝①～③の確率の合計値）は、例えばBABIPが3割ちょうどの場合、38.03％となる（下表の「1イニングを無安打無失点に抑えられる確率」列参照）。これを9イニング続けられればノーヒットノーランを達成できるので、その達成確率は38.03％^9＝0.017％となる（下表の「ノーヒットノーランの達成確率」列参照）。言い換えれば、当該確率のもとで年間12球団・143試合のうちにノーヒットノーランがみられる回数の期待値は0.29となる。

これをBABIPの水準ごとに求める。当然のことながら、（２）の前提において、BABIPが高い（／低い）ほど被安打率が高く（／低く）算出されているため、ノーヒット無失点に抑えられる確率は低く（／高く）なる。